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Teste da comparação

Em muitos casos não será possível avaliar a integral imprópria diretamente - teremos integrandos que só poderão ser resolvidos através de softwares. Ainda assim, nestes casos, muitas vezes nós poderemos aproximar o integrando para uma função diferente, cuja integração seja possível, e dessa forma determinar se a integral original é convergente ou divergente (pode acreditar que esta análise por si só é bastante importante).

Alguns típicos exemplos de integrais impróprias que não podem ser avaliadas diretamente:

Como devemos proceder nestes casos? Podemos usar o teste da comparação.

Teste da comparação

Considere as funções e contínuas em todo . Nós podemos escolher uma nova função para todo de forma que:

se            converge então            também converge

ou então escolher uma nova função para todo de forma que

se            diverge então            também diverge.

Em outras palavras, se temos uma função maior que converge, então a função menor também converge. Ou então, se temos uma função menor que diverge, então a função maior também diverge.

Exercício resolvido

Calcule a integral abaixo:

Precisamos criar uma nova função que seja maior do que a função dada e provar que a nova integral é convergente. Consequentemente, a integral da função original (menor) também será convergente:

Função dada

Nova função

Sabemos que nossa nova função é maior que a função original, dado que seu denominador é menor que o denominador da função original. Calculando a integral imprópria de (nova função) temos:

Dada que a integral imprópria de para o intervalo fornecido é convergente, nós podemos afirmar, pelo teste da comparação, que a integral original de é também convergente.

E se houvéssemos escolhido a outra função?

Veja só o que aconteceria caso escolhêssemos nosso como . Nós ainda sim teríamos uma nova função maior que a original, como mostrado abaixo.

Ou seja, divergente. Sendo divergente, nós não podemos afirmar que a integral imprópria de é convergente ou que é divergente. Nós nada podemos afirmar! Neste ponto, conclui-se que a função escolhida para não foi apropriada.