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O que são integrais impróprias

Considere as áreas localizadas abaixo dos gráficos das funções e . É totalmente razoável pensar que a área, abaixo de ambas as curvas, é infinita. Afinal, ela se estende indefinidamente, correto?

Mas vamos analisar com calma: sabemos que a área é calculada através de uma integral, então vamos determinar as áreas destas curvas através do cálculo das integrais de 1 até . Nosso parâmetro , uma constante, irá variar até o valor 100. Sabe-se que a integral de é igual a e que a integral de é igual a . Sendo assim, para diferentes valores de , teremos as seguintes áreas:

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O que a tabela mostra é que, caso calculemos a área sob a curva de 1 até 5, obteremos o valor de 1,609. Caso efetuemos o mesmo cálculo de 1 até 20, obteremos 2,996 e assim por diante. Estes cálculos não parecem convergir para nenhum valor (de fato, não convergem).

No segundo caso, função , fica evidente que existe uma convergência para 1, dado que o resultado parece convergir a 1 na medida que aumenta. No gráfico interativo abaixo você pode verificar o formato das curvas e a área sobre elas, calculada do lado esquerdo dos gráficos.

Note que a integral de converge para um valor específico, enquanto que a integral de não. Para a função , quanto maior o valor escolhido para a, mais próximo de 1 chegaremos (a integral converge para 1). Para comprovar o que encontramos por meio da tabela, faremos o cálculo analítico das integrais com .

  • Para :

dado que, quando , o logaritmo de  também tende a infinito.

  • Para :

dado que quando tende a infinito. Sendo assim a área sob a curva de (no intervalo infinito fornecido) é finita e seu valor é 1.