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Integrais impróprias do tipo 2 (caso convergente)

Bom, aqui a sua análise deve ser um pouco mais cuidadosa. Neste caso, devemos olhar o domínio da função que estamos integrando junto ao intervalo de integração. Se a restrição do domínio está no intervalo onde queremos calcular a integral (mesmo que esteja em um dos extremos), temos uma integral imprópria. Abaixo seguem três integrais impróprias:

Em integrais impróprias do tipo 2 lidamos com funções que se tornam infinitas em seu intervalo de integração. Vamos analisar a definição de integrais impróprias do tipo 2.

Integrais impróprias do tipo 2

Considere duas funções: uma função contínua no intervalo e possua uma descontinuidade infinita em e uma função contínua no intervalo e possua uma descontinuidade infinita em . Sendo assim,

Da mesma forma, sendo contínua no intervalo exceto em algum número real em onde possua uma descontinuidade infinita, então

A integral é dita convergente caso o limite exista. Se o limite não existir (for infinito), dizemos que a integral é divergente. Quando o cálculo envolve a soma de dois limites (duas integrais), caso uma delas seja divergente, a soma também será divergente.

No primeiro exemplo apresentado no início do texto, sabemos que a função não está definida em (pois isso faria com que o denominador fosse nulo). Sendo assim, dado que o número 1 aparece no intervalo (que são os limites de integração), teremos uma integral imprópria. No segundo exemplo, existe uma descontinuidade infinita em , sendo que um dos limites de integração (o limite superior) é exatamente 2. A integral é também imprópria. No terceiro exemplo, a descontinuidade do integrando está localizada no intervalo de integração (em ), portanto a integral é imprópria.

Exercício resolvido

Vamos determinar se a integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.

Resolução

Aqui utilizaremos uma integração por partes, da seguinte forma:

Lembrando da fórmula da integração por partes,

Teremos o seguinte:

Já temos então a nossa integral indefinida calculada. Voltando para a integral original,

Perceba que no último termo temos uma indeterminação, que exige a utilização da regra de L'Hôpital:

Portanto o resultado da integral é

Temos uma integral convergente e seu valor é .