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Como identificar integrais impróprias

Vamos iniciar o nosso estudo sobre integrais impróprias nesta aula. Repare que até agora, em Cálculo I, nós vínhamos calculando integrais definidas em intervalos finitos onde os integrandos (as funções que integramos) eram contínuos. Alguns exemplos de integrais que resolvemos até agora:

Em nenhum dos casos apresentados acima as funções são descontínuas no intervalo de integração. Contudo, o que acontece quando você tenta avaliar a integral abaixo?

Se você tentar resolver a integral citada sem se preocupar com os limites de integração, você encontrará a seguinte resposta:

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O cálculo acima está incorreto!

Porém, a resposta correta para o exercício acima é divergente. A integral mostrada é imprópria (do tipo 2, como veremos a seguir), dado que o integrando é descontínuo no intervalo de integração (precisamente em ).

Antes de continuar, precisamos saber diferenciar o que é (e o que não é!) uma integral imprópria. Bom, vamos começar identificando integrais do tipo 1.

Identificando integrais impróprias

As integrais impróprias deste tipo possuem intervalo de integração infinito, ou seja, ou nos limites de integração. Alguns exemplos:

Já as integrais impróprias do tipo 2 possuem um integrando descontínuo (quando considerado o intervalo de integração). E o que isso quer dizer? É extremamente importante que você saiba analisar o domínio das funções mais importantes que aparecem no curso de cálculo. Isto será fundamental na determinação das integrais impróprias do tipo 2.

Alguns exemplos de integrais impróprias do tipo 2:

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Repare que integrais indefinidas, ou seja, que não possuem limites de integração, nunca serão impróprias

Agora que você já sabe distinguir integrais impróprias, é hora de treinar: quais das oito integrais mostradas abaixo são impróprias? A resposta está na videoaula.